Oplossingen augustus 2007.
--------------------------
Dit zijn _geen_ volledige uitwerkingen; alleen de uitkomsten, 
mogelijk met typfouten.

1
---
1a.

M heeft verg. x^t A x=1, met
A=[13  1  4]
  [1  13  4]
  [4   4 10]
diagonaliseren levert A=PDP^{-1} met
P=[sqrt(2) sqrt(3)  1 ] * (1/sqrt(6))
  [sqrt(2) -sqrt(3) 1 ]
  [sqrt(2)   0     -2 ]
en 
D=diag(lambda,mu,nu)=[18 0 0]
                     [0 12 0]
		     [0  0 6]
(Het karakteristieke pol. det(tI-A) van A heeft graad 3, en
is deelbaar door t-18; het quotient heeft graad 2 en daarvan kun je
met de ABC-formule de nulpunten vinden.)

1b. in (u,v,w)-coordinaten: +/- (1/sqrt(18),0,0)^t, dus in
(x,y,z) coordinate P maal deze vector, dus +/- (1,1,1)^t * (1/sqrt(54)). 

2
---
2a. Karakteristieke polynoom is t^4-1, met nulpunten +/- 1
en +/- i. Algemene reele oplossing
x(t)=
c_1 e^t (1,1,1,1) +
c_2 e^(-t) (1,1,-1,-1) +
c_3 (sin(t),-sin(t),cos(t),-cos(t)) +
c_4 (-cos(t),cos(t),sin(t),-sin(t))

2b. Periodiek alleen maar als c_1=c_2=0. En elke oplossing
van de vorm 
c_3 (sin(t),-sin(t),cos(t),-cos(t)) +
c_4 (-cos(t),cos(t),sin(t),-sin(t))
ligt op de lijn x+y=0.

2c. (x(t),y(t))->0 voor t->oneindig, dan dus c_1=c_3=c_4=0.
Verder x(0)=c_2 e^0=1 dus c_2=1, en
(x(t),y(t))=(e^(-t),e^(-t)). 

3
---
3a. T is injectief want uit Tp=0 volgt p=0---immers, p is de afgeleide
van de functie Tp, die 0 verondersteld wordt. S is injectief want
uit Sp=0 volgt p=0---immers, voor alle x ongelijk aan 1 geldt dan
p(x)=(Sp)(x)/(x-1)=0, en omdat p continu is geldt dan ook p(1)=0.
Ze hebben hetzelfde beeld, namelijk de 3-dimensionale ruimte
van alle polynomen die deelbaar zijn door x-1. (Voor S is
dat duidelijk, voor T ook: er wordt vanaf 1 geintegreerd,
dus 1 is een nulpunt van Tp, voor alle p). 

3b. S^(-1)Tp wordt berekend door de het polynoom 
Tp=integraal_1^x p(t)d(t) 
te delen door (x-1). Doe dit voor p=1,x,x^2 en je vindt
achtereenvolgens 1, (x+1)/2, (x^2+x+1)/3. 

3c. Sp=lambda Tp is equivalent met S^(-1) T p =lambda p. Er
wordt dus naar eigenruimten van S^(-1)T gevraagd. Dat zijn
er drie: het opspansel van 1 (bij eigenwaarde 1), het
opspansel van (x-1) (bij eigenwaarde 1/2), en het opspansel
van (x-1)^2 (bij eigenwaarde 1/3). 

4
---
4a. Verifieer tr(A+B)=tr(A)+tr(B) en tr(cA)=c tr(A).
Tenslotte: tr(AB)=a_11 b_11 + a_12 b_21 + a_21 b_12 + a_22
b_22 = tr(BA). 

4b. beta(A,B)=
a_11 ~b_11 + a_12 ~b_12 + a_21 ~b_21 + a_22 ~b22,
waar ~b_ij voor de complex geconjugeerde van b_ij staat. Dus
dit is "gewoon" het standaard-inproduct op C^4 in vermomming, en 
voldoet aan alle axioma's. 

4c. Noem die matrix A, dan wordt gevraagd naar
beta(I,A)/beta(A,A) * A. Invullen geeft (1-i)/4 * A. 

4d.
beta(UAU^(-1),BAB^(-1))=beta(UAU^*,UBU^*)=tr(UAU^*UB^*U)=
tr(UAB^*U^*)=tr(U^*UAB^*)=tr(AB^*), waar in de voorlaatste
stap onderdeel a gebruikt wordt.